2026 年考研数学（二） 第 1 题

等价无穷小配系数，核心是「阶要对齐」。右边是二阶无穷小（$\sim \frac{1}{3}{x}^2$），左边含 $(b+1)x$ 的一阶项，必须先让它为零（$b=-1$），再让二次项系数相等（$a=\frac{1}{3}$）。看到 $\arcsin x$ 就要想到它的一次主部是 $x$，会与 $bx$ 合并成 $(b+1)x$。

本题考查等价无穷小的确定（泰勒展开配阶）。 把两边都展开到 $x^2$ 阶再比较。

右边：$(1+u{)}^{1/3}-1\sim \frac{1}{3}u$（$u=x^2$），故 $\sqrt[3]{1+x^2}-1\sim \frac{1}{3}{x}^2$。

左边：$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，于是
$$a{x}^2+bx+\arcsin x=(b+1)x+a{x}^2+o(x^2).$$

要与二阶无穷小 $\frac{1}{3}{x}^2$ 等价，必须先消去一次项：$b+1=0\Rightarrow b=-1$；再令二次项系数相等：$a=\frac{1}{3}$。故选 A。