2026 年考研数学（二） 第 21 题

可降阶 ODE（缺 $y$）标准套路：$p=y^{\prime }$ 降成一阶。此题降阶后 $x^2{p}^{\prime }=2xp+p^2$ 是齐次方程（令 $u=p/x$）。两个初值分两次用：先由 $y^{\prime }(3)=-9$ 定出 $y^{\prime }=\frac{x^2}{2-x}$，再积分（先做多项式除法 $\frac{x^2}{2-x}=-x-2-\frac{4}{x-2}$）并用 $y(3)=\frac{1}{2}$ 定常数 $11$。

本题考查可降阶的高阶微分方程（不显含 $y$）化为一阶方程求解。

方程不显含 $y$，令 $p=y^{\prime }$，则 $y^{\prime \prime }=p^{\prime }$，原方程化为 $x^2{p}^{\prime }-2xp-p^2=0$，即 $p^{\prime }=\frac{2xp+p^2}{x^2}=2\cdot \frac{p}{x}+{\left(\frac{p}{x}\right)}^2$。

这是齐次型一阶方程。令 $u=\frac{p}{x}$，$p=ux$，$p^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$：$u+x{u}^{\prime }=2u+u^2\Rightarrow x{u}^{\prime }=u+u^2\Rightarrow \frac{du}{u(1+u)}=\frac{dx}{x}$。

积分：$\ln \left|\frac{u}{1+u}\right|=\ln |x|+C_1\Rightarrow \frac{u}{1+u}=Cx$。代 $x=3$ 时 $p=y^{\prime }=-9$，$u=\frac{p}{x}=-3$：$\frac{-3}{1-3}=\frac{3}{2}=3C\Rightarrow C=\frac{1}{2}$。故 $\frac{u}{1+u}=\frac{x}{2}$，解得 $u=\frac{x}{2-x}$，$p=ux=\frac{x^2}{2-x}$。

即 $y^{\prime }=\frac{x^2}{2-x}=-x-2-\frac{4}{x-2}$（多项式除法）。积分（$x>2$）：$y=-\frac{x^2}{2}-2x-4\ln (x-2)+C_2$。

代 $y(3)=\frac{1}{2}$：$-\frac{9}{2}-6-0+C_2=\frac{1}{2}\Rightarrow C_2=11$。故所求解为 $y=-\frac{1}{2}{x}^2-2x-4\ln (x-2)+11$。