2026 年考研数学（二） 第 20 题

三步：① $y^{\prime \prime }=0$ 定拐点 $M=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4})$；② 区域上边界分段（先线段 $OM$ 后曲线），绕 $x$ 轴圆盘法分两段积分；③ 曲线段是反常积分，记住 $\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1}{2}(\frac{x}{1+x^2}+\arctan x)$。两段相加，注意 $\frac{\sqrt{3}}{16}\pi -\frac{\sqrt{3}}{8}\pi =-\frac{\sqrt{3}}{16}\pi$，得 $V=\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{\sqrt{3}}{16}\pi$。

本题考查拐点、旋转体体积（圆盘法）与反常积分。

先求拐点。$y^{\prime }=\frac{-2x}{(1+x^2{)}^2},y^{\prime \prime }=\frac{6x^2-2}{(1+x^2{)}^3}$。令 $y^{\prime \prime }=0$（$x\ge 0$）得 $x_0=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$y_0=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}$，故 $M=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4}\right)$。

线段 $OM$：过原点，斜率 $\frac{3/4}{1/\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即 $y=\frac{3\sqrt{3}}{4}x,x\in \left[0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right]$。

绕 $x$ 轴用圆盘法，体积分两段（$[0,x_0]$ 上界为线段，$[x_0,+\infty )$ 上界为曲线）：
$$V=\pi {\int }_0^{1/\sqrt{3}}{\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}x\right)}^{2}dx+\pi {\int }_{1/\sqrt{3}}^{+\infty }\frac{1}{(1+x^2{)}^2}dx.$$

第一段：$\pi \cdot \frac{27}{16}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^{1/\sqrt{3}}=\pi \cdot \frac{27}{16}\cdot \frac{1}{9\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{16}\pi$。

第二段：$\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1+x^2}+\arctan x\right)$。从 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 到 $+\infty$：$+\infty$ 处为 $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$，$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 处为 $\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\pi }{6}\right)$，故积分 $=\frac{\pi }{4}-\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}$，乘 $\pi$ 得 $\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}\pi$。

合计：$V=\frac{\sqrt{3}}{16}\pi +\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}\pi =\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{\sqrt{3}}{16}\pi$。