2026 年考研数学（二） 第 19 题

标准流程：求偏导 → 解驻点 $(0,0)$、$(-2,0)$ → 二阶判别。$(0,0)$ 处 $AC-B^2=-8<0$ 是鞍点（非极值）；$(-2,0)$ 处 $AC-B^2=8e^{-4}>0$ 且 $f_{xx}<0$ 是极大值，值为 $\frac{8}{e^2}$。注意 $f_y=-2y{e}^x=0$ 直接锁定 $y=0$，简化求驻点。

本题考查多元函数无条件极值（驻点 + 二阶判别）。

一阶偏导：$f_x=e^x(2x^2+4x-y^2),f_y=-2y{e}^x$。令 $f_x=f_y=0$：由 $f_y=0$ 得 $y=0$，代入 $f_x=0$ 得 $2x^2+4x=0\Rightarrow x=0$ 或 $x=-2$。驻点为 $(0,0)$ 与 $(-2,0)$。

二阶偏导：$A=f_{xx}=e^x(2x^2+8x+4-y^2),B=f_{xy}=-2y{e}^x,C=f_{yy}=-2e^x$。

在 $(0,0)$：$A=4,B=0,C=-2$，$AC-B^2=-8<0$，故 $(0,0)$ 为非极值点（鞍点）。

在 $(-2,0)$：$A=e^{-2}(8-16+4)=-4e^{-2},B=0,C=-2e^{-2}$，$AC-B^2=8e^{-4}>0$ 且 $A<0$，故 $(-2,0)$ 为极大值点，极大值 $f(-2,0)=(8-0)e^{-2}=\frac{8}{e^2}$。

综上：函数有极大值 $f(-2,0)=\frac{8}{e^2}$，无极小值。