2026 年考研数学（二） 第 18 题

关键第一步是换元 $u=xt$，把「参数在被积函数里」变成「参数只在上限」，得 $f=\frac{1}{x}{\int }_0^{x^3}g$。之后求导是常规商法则。判连续性用「极限值 $=$ 函数值」：$f^{\prime }(0)$ 用定义算得 $0$，再验证 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)$ 也为 $0$（两项都趋 $0$，可用 ${\int }_0^{x^3}g\sim g(0)x^3$），故连续。

本题考查变限积分求导（先换元消去被积函数中的参数）与导数的连续性。

当 $x\ne 0$，令 $u=xt$（$x$ 视为常数），$\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}u}{x}$，$t:0\to x^2$ 对应 $u:0\to x^3$：
$$f(x)={\int }_0^{x^3}g(u)\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}u=\frac{1}{x}{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u.$$

对 $x\ne 0$ 用商的求导法则与变限积分求导：
$$f^{\prime }(x)=\frac{g(x^3)\cdot 3x^2\cdot x-{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u}{x^2}=3xg(x^3)-\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u.$$

在 $x=0$：$f(0)=0$，由定义 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u$。因 ${\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u\sim g(0)x^3$，故 $f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}g(0)x=0$。

连续性：$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }3xg(x^3)-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u=0-0=0=f^{\prime }(0)$（第二个极限由洛必达 $\frac{3x^{2}g(x^3)}{2x}\to 0$ 得）。故 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续。