2026 年考研数学（二） 第 22 题

核心技巧是「秩分解降幂」：$A=GH$ 把 $4\times 4$ 的 $A$ 写成 $4\times 2$ 与 $2\times 4$ 之积，则 $A^{10}=G(HG{)}^{9}H$，把 $10$ 次幂转移到 $2\times 2$ 的 $D=HG$ 上。$D$ 恰是上三角 $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$，其幂 $D^n=\left(\begin{array}{cc}1& -n\\ 0& 1\end{array}\right)$ 立得。最后 $G{D}^{9}H$ 两次乘法得结果。

本题考查极大线性无关组、矩阵分解 $A=GH$ 及利用分解求高次幂。

(1) 对 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$ 作行变换化阶梯形，得 $r(A)=2$，且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 不成比例（线性无关）。又直接求得 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_4={\alpha }_1-{\alpha }_2$（注意 ${\alpha }_4=-{\alpha }_3$），即 ${\alpha }_3,{\alpha }_4$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表示。故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是极大线性无关组。

(2) 由 ${\alpha }_1={\alpha }_1,{\alpha }_2={\alpha }_2,{\alpha }_3=-{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_4={\alpha }_1-{\alpha }_2$，表示系数按列排成 $H=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)$，则 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2)H=GH$。

求 $A^{10}$：利用结合律 $A^{10}=(GH{)}^{10}=G(HG{)}^{9}H$。记 $D=HG$（$2\times 2$）：
$$D=HG=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\\ -1& 0\\ -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right).$$

上三角幂 $D^9=\left(\begin{array}{cc}1& -9\\ 0& 1\end{array}\right)$。先算 $G{D}^9=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\\ -1& 0\\ -1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -9\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -8\\ 0& -1\\ -1& 9\\ -1& 7\end{array}\right)$。

再乘 $H$：
$$A^{10}=G{D}^{9}H=\left(\begin{array}{cc}1& -8\\ 0& -1\\ -1& 9\\ -1& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& -8& -9& 9\\ 0& -1& -1& 1\\ -1& 9& 10& -10\\ -1& 7& 8& -8\end{array}\right).$$