2025 年考研数学（二） 第 8 题

「特征值符号 = 惯性指数」是实对称矩阵的核心桥梁。看到「几正几负特征值」不必真求特征值，配方最快：$x_1^2+4x_1{x}_2$ 先凑成 $(x_1+2x_2{)}^2$，代价是 $x_2^2$ 系数由 $a$ 变成 $a-4$。$(x_1+2x_2{)}^2$ 已占掉唯一的正惯性指数，故剩下 $(a-4)x_2^2+b{x}_3^2$ 必须全负，直接读出 $a<4,b<0$。

本题考查实对称矩阵特征值与二次型惯性指数。 该矩阵是实对称阵，正、负特征值个数即对应二次型的正、负惯性指数，可用配方法确定 $a,b$。

记 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& a& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right)$，对应二次型
$$f=x_1^2+a{x}_2^2+b{x}_3^2+4x_1{x}_2=(x_1+2x_2{)}^2+(a-4)x_2^2+b{x}_3^2.$$

「一正两负」即正惯性指数 $1$、负惯性指数 $2$。$(x_1+2x_2{)}^2$ 系数为正，贡献 $1$ 个正；故其余两项须为负，即 $a-4<0$ 且 $b<0$，得 $a<4,b<0$。

另法（行列式验证）： $|A|=b(a-4)$，「一正两负」时三特征值乘积 $|A|>0$，得 $b$ 与 $a-4$ 同号；再结合特征多项式 $(\lambda -b)[{\lambda }^2-(a+1)\lambda +(a-4)]$ 分析，只有 $a<4,b<0$ 给出一正两负。故应选 D。