2025 年考研数学（二） 第 7 题

直觉容易误答「$2$」，但严格分析四条都成立。破题的两把钥匙：其一，$\frac{N(x)}{x}$ 有限极限存在 $\Rightarrow N(x)\to 0$，据此锁定 $f(0)$ 的符号；其二，一旦知道 $f(0)$ 的符号，连续性让 $|f|$ 在 $0$ 附近等于 $+f$ 或 $-f$，条件就还原成 $f^{\prime }(0)$ 的定义。唯一需要小心的是 $f(0)=0$ 分支——此时 $\lim \frac{|f(x)|}{x}$ 存在，靠「右侧非负、左侧非正」逼出极限为 0，仍得可导。

本题综合考查导数定义与极限性质。 关键引理：对连续函数 $f$，$\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=|f(x_0)|$；且 $\lim f(x)=0⟺\lim |f(x)|=0$。又「$\frac{N(x)}{x}$ 极限存在（有限）」迫使 $N(x)\to 0$。

命题③成立 $\Rightarrow$ 可导。 由 $\frac{|f(x)|}{x}$ 极限存在得 $|f(x)|\to 0$，故 $f(0)=0$。右极限中 $\frac{|f|}{x}\ge 0$、左极限中 $\le 0$，两侧相等只能同为 $0$，于是 $\lim \frac{|f(x)|}{x}=0$，从而 $\lim \frac{f(x)}{x}=0$，即 $f^{\prime }(0)=0$。

命题①成立 $\Rightarrow$ 可导。 极限存在迫使 $|f(0)|-f(0)=0$，即 $f(0)\ge 0$。若 $f(0)=0$ 则①即③，得 $f^{\prime }(0)=0$；若 $f(0)>0$，由连续性在 $0$ 附近 $f>0$，$|f|=f$，①即 $\lim \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 存在，正是 $f^{\prime }(0)$。

命题②成立 $\Rightarrow$ 可导。 迫使 $f(0)-|f(0)|=0$，即 $f(0)\ge 0$，此时 $|f(0)|=f(0)$，②即 $\lim \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 存在 $=f^{\prime }(0)$。

命题④成立 $\Rightarrow$ 可导。 若 $f(0)=0$，④即③，得 $f^{\prime }(0)=0$；若 $f(0)\ne 0$，由连续性 $|f|=\pm f$（与 $f(0)$ 同号）在 $0$ 附近成立，④化为 $\pm \lim \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 存在，故 $f^{\prime }(0)$ 存在。

四个命题都能推出可导。故应选 D。