2025 年考研数学（二） 第 6 题

引力做功题没有现成公式，核心是元素法 + 分解力。引力大小 $\frac{G}{r^2}=\frac{G}{x^2+1}$ 只是「A 选项」的诱饵——因为 $P$ 沿 $x$ 轴走，真正做功的是引力在 $x$ 方向的分量，必须乘 $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，于是分母出现 $(x^2+1{)}^{3/2}$、分子出现 $x$。识别信号：力的方向与运动方向不共线 $\Rightarrow$ 一定要投影。

本题考查定积分的物理应用（变力做功、引力）。 用元素法：当 $P$ 运动到 $(x,0)$ 时，写出引力沿 $x$ 方向分量，再对 $x$ 从 $0$ 到 $l$ 积分。

$P$ 在 $(x,0)$、$Q$ 在 $(0,1)$，二者距离 $r=\sqrt{x^2+1}$，单位质点间引力大小 $F=\frac{G}{x^2+1}$，方向沿 $PQ$。

记 $PQ$ 与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$（引力在 $x$ 方向的分量指向 $-x$，克服它才做功），故引力沿 $x$ 方向的分量大小为
$$F\cos \theta =\frac{G}{x^2+1}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{3/2}}.$$

克服引力的功元素 $dW=\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx$，故
$$W={\int }_0^l\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx.$$
应选 B。