2025 年考研数学（二） 第 5 题

交换次序的通用做法：先画区域，再按新次序「切片」。本题区域关于 $y$ 轴对称但不是矩形，写成 Y 型时对每个 $y$ 都会得到左右两段 $x$ 区间，这正是「$x^2\ge 4-y$」的两支解 $x\le -\sqrt{4-y}$ 与 $x\ge \sqrt{4-y}$。识别信号：抛物线开口向下 + 上边界为水平线，交换后必分块。选项 D 的「乘 2」只有在被积函数关于 $x$ 偶时才成立，题目没给就是陷阱。

本题考查二次积分交换积分次序。 先由原次序（先 $y$ 后 $x$）画出积分区域，再改写成先 $x$ 后 $y$。

原积分区域 $D=\{(x,y)\mid 4-x^2\le y\le 4,-2\le x\le 2\}$，即介于抛物线 $y=4-x^2$（顶点 $(0,4)$）与直线 $y=4$ 之间的部分。

改为先 $x$ 后 $y$：由 $y=4-x^2$ 解得 $x=\pm \sqrt{4-y}$。对固定的 $y\in [0,4]$，条件 $4-x^2\le y$ 即 $x^2\ge 4-y$，故 $x\in [-2,-\sqrt{4-y}]\cup [\sqrt{4-y},2]$。因此
$${\int }_{-2}^{2}dx{\int }_{4-x^2}^{4}fdy={\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{-\sqrt{4-y}}fdx+{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}fdx\right]dy.$$

选项 D 相当于断言积分等于右半区域的 $2$ 倍，这要求 $f$ 关于 $x$ 为偶函数，但题设并无此条件（取 $f=x$ 即反例）。故应选 A。