2025 年考研数学（二） 第 4 题

核心把手是 $\lim \frac{f}{g}=0$。A、B 直接约分：$\frac{f+g}{g}\to 1$、$\frac{fg}{f^2}=\frac{g}{f}\to \infty$ 立刻否定。C 用 $g\to 0$ 时 $e^g-1\sim g$ 把分母换成 $g$，回到已知比值。D 是经典陷阱——$\frac{f}{g}\to 0$ 不能保证 $\frac{f}{g^2}\to 0$（多除一个趋零的 $g$ 反而可能不趋零），取 $f=x^2,g=x$ 一试即破。

本题考查无穷小量的比阶。 「$f$ 是 $g$ 的高阶无穷小」即 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$（且二者均为无穷小，$g\to 0$）。逐项判断。

A 错。 $\lim \frac{f+g}{g}=\lim \frac{f}{g}+1=1\ne 0$，故 $f+g$ 不是 $g$ 的高阶无穷小。

B 错。 $\lim \frac{fg}{f^2}=\lim \frac{g}{f}=\infty$（因 $\frac{f}{g}\to 0$），故 $fg$ 不是 $f^2$ 的高阶无穷小。

C 对。 因 $g\to 0$，$e^{g(x)}-1\sim g(x)$，故 $\lim \frac{f}{e^g-1}=\lim \frac{f}{g}=0$，即 $f=o(e^g-1)$。

D 错（举反例）。 取 $f(x)=x^2,g(x)=x$，则 $\frac{f}{g}=x\to 0$ 满足条件，但 $\lim \frac{f}{g^2}=\lim \frac{x^2}{x^2}=1\ne 0$。
综上应选 C。