2025 年考研数学（二） 第 3 题

关键一步是把「任一解的反常积分收敛」等价成「特征根实部全为负」——因为解都是 $e^{\lambda x}$、$x{e}^{\lambda x}$、$e^{\alpha x}\cos /\sin \beta x$ 的组合，这些在 $[0,+\infty )$ 上积分收敛当且仅当指数（实部）为负。接着用「和为负、积为正」（对 ${\lambda }^2-2a\lambda +(a+2)$ 就是 $2a<0,a+2>0$）刻画两根实部同为负，得到 $(-2,0)$；端点因出现常数解或纯振荡解而必须开区间。

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解与反常积分的敛散性。 特征方程为 ${\lambda }^2-2a\lambda +(a+2)=0$，其解的形态决定 ${\int }_0^{+\infty }ydx$ 是否收敛。

解的通解由 $e^{\lambda x}$、$x{e}^{\lambda x}$ 或 $e^{\alpha x}(\cos \beta x,\sin \beta x)$ 组成。要任一解的 ${\int }_0^{+\infty }$ 都收敛，必须每个基本解都收敛，而
$${\int }_0^{+\infty }{e}^{\lambda x}dx,{\int }_0^{+\infty }x{e}^{\lambda x}dx\text{收敛}⟺\lambda <0;$$
$${\int }_0^{+\infty }{e}^{\alpha x}\cos \beta xdx,{\int }_0^{+\infty }{e}^{\alpha x}\sin \beta xdx\text{收敛}⟺\alpha <0.$$
即要求特征根的实部全部小于 $0$。

设两根为 ${\lambda }_{1,2}$，由根与系数关系 ${\lambda }_1+{\lambda }_2=2a$，${\lambda }_1{\lambda }_2=a+2$。实部全负等价于（对二次方程 ${\lambda }^2-2a\lambda +(a+2)=0$）：
$$-(\text{一次项系数})=2a<0\text{且}(\text{常数项})=a+2>0,$$
即 $a<0$ 且 $a>-2$，得 $-2<a<0$。

验证边界：$a=0$ 时根为 $\pm \sqrt{2}i$，解含 $\cos \sqrt{2}x$ 不衰减，积分发散；$a=-2$ 时 ${\lambda }_1{\lambda }_2=0$ 有零根，出现常数解，积分发散。故取开区间。应选 C。