2025 年考研数学（二） 第 2 题

「变限积分 + 极值/拐点」的组合题，套路是把 $f^{\prime },f^{\prime \prime }$ 算出来在 $0$ 附近看符号。$f^{\prime }=e^{x^2}\sin x$ 因指数因子恒正，符号随 $\sin x$ 翻转，$0$ 是极值点；而 $g=A(x){\sin }^{2}x$ 用 $A(x)\sim x,{\sin }^{2}x\sim x^2$ 立刻看出 $g\sim x^3$，「奇次幂」意味着过原点单调穿越、二阶导变号，是拐点不是极值点。抓住「$e^{x^2}$ 恒正定符号」和「$g\sim x^3$」两个直觉即可秒选 B。

本题考查变限积分求导、极值点与拐点的判定。 分别算出 $f^{\prime },f^{\prime \prime },g^{\prime },g^{\prime \prime }$ 并考察其在 $x=0$ 附近的符号。

分析 $f(x)$： 由变限积分求导 $f^{\prime }(x)=e^{x^2}\sin x$，$f^{\prime \prime }(x)=(2x\sin x+\cos x)e^{x^2}$。
在 $x=0$ 附近 $e^{x^2}>0$，故 $f^{\prime }(x)$ 与 $\sin x$ 同号：$x<0$ 时 $f^{\prime }<0$，$x>0$ 时 $f^{\prime }>0$，所以 $x=0$ 是 $f$ 的极小值点。又 $f^{\prime \prime }(0)=1>0$，且 $f^{\prime \prime }$ 在 $0$ 附近恒正，故 $(0,0)$ 不是 $y=f(x)$ 的拐点。

分析 $g(x)$： 记 $A(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt$，则 $g=A(x){\sin }^{2}x$。因 $A(x)\sim x$、${\sin }^{2}x\sim x^2(x\to 0)$，故 $g(x)\sim x^3$。
于是 $g$ 在 $x=0$ 两侧同号变化（$x<0$ 时 $g<0$，$x>0$ 时 $g>0$），$x=0$ 不是 $g$ 的极值点；而 $g\sim x^3$ 使 $g^{\prime \prime }$ 在 $0$ 处变号，故 $(0,0)$ 是 曲线 $y=g(x)$ 的拐点。

综上：$x=0$ 是 $f$ 的极值点，$(0,0)$ 是 $y=g(x)$ 的拐点。故应选 B。