2025 年考研数学（二） 第 1 题

看到「由方程确定 $z=z(x,y)$，求偏导的组合」，直接对确定式两端逐个变量求偏导是最稳的路子。本题的两个「陷阱信号」都在变限积分上：上限贡献 $+e^{-x^2}$、下限贡献 $-e^{-y^2}$（差一个负号），正是这个符号差把 $x$、$y$ 两项区分开，最终相加得到带减号的 $e^{-x^2}-e^{-y^2}$，从而排除 B、D；而 $\frac{z}{z+1}$ 的正号来自 $z+\ln z$ 求导的系数 $1+\frac{1}{z}=\frac{z+1}{z}$。

本题考查由方程确定的隐函数（多元）的偏导数。 对确定式两端分别关于 $x$、$y$ 求偏导即可。

对方程两端关于 $x$ 求偏导（注意 ${\int }_y^x{e}^{-t^2}dt$ 对 $x$ 求导得上限 $e^{-x^2}$）：
$$\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}-e^{-x^2}=0\Rightarrow \frac{z+1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}=e^{-x^2}\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{z+1}{e}^{-x^2}.$$

对方程两端关于 $y$ 求偏导（${\int }_y^x{e}^{-t^2}dt$ 对下限 $y$ 求导得 $-e^{-y^2}$）：
$$\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{1}{z}\cdot \frac{\partial z}{\partial y}+e^{-y^2}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{z}{z+1}{e}^{-y^2}.$$

两式相加：
$$\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}-e^{-y^2}\right).$$
故应选 A。