2025 年考研数学（二） 第 9 题

行等价问题的高效解法是找「行变换下的不变量」：秩、以及各列之间的线性相关关系。目标矩阵最醒目的特征是「第 1、2 列相同」，这在行变换下保持不变，于是只需在选项里找前两列相关者——A、C、D 前两列都无关，唯 B 相同，几乎一眼可定；再顺手化简 B 验证秩也为 2 即可。

本题考查矩阵的初等行变换（行等价）。 关键性质：初等行变换不改变列向量组的线性相关性（也不改变秩）。目标矩阵秩为 $2$，且其第 $1,2$ 列相关（相等）。

目标矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ 的第一列与第二列相等（线性相关）。行等价的矩阵必须保持「第 1 列与第 2 列相关」。

逐项看第 $1,2$ 列是否相关：A、C、D 的前两列均线性无关，唯有 B 的前两列相等（相关）。再验证 B：
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 2& 5\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
恰好得到目标矩阵。故应选 B。

补充：C 的矩阵有 $3$ 阶非零子式（如取第 $1,2,4$ 列），秩为 $3$，与目标秩 $2$ 不符，直接排除。