2025 年考研数学（二） 第 12 题

三次根号下是三次多项式，$x\to \infty$ 时 $y\approx x$，典型斜渐近线题。$k=1$ 由提出 $x$ 即得；难点是 $b=\lim (y-x)$，把 $\sqrt[3]{x^3-3x^2+1}-x$ 换元 $t=1/x$ 后用 $\sqrt[3]{1+u}-1\sim \frac{1}{3}u$ 一阶近似，主项 $\frac{1}{3}(-3t)/t=-1$。记住：$\sqrt[3]{x^3+p{x}^2+\cdots }$ 的斜渐近线斜率总是 1、截距是 $p/3$（这里 $p=-3$，截距 $-1$）。

本题考查曲线渐近线的计算。 函数无间断点，故无铅直渐近线；且 $x\to \infty$ 时 $y\to \infty$，无水平渐近线，只需求斜渐近线 $y=kx+b$。

$$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}}=1.$$

$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt[3]{x^3-3x^2+1}-x)\stackrel{t=1/x}{\to }\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1-3t+t^3}-1}{t}.$$
由 $\sqrt[3]{1+u}-1\sim \frac{1}{3}u$（此处 $u=-3t+t^3$）得 $b=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{3}(t^3-3t)}{t}=-1$。

故斜渐近线为 $y=x-1$。