2025 年考研数学（二） 第 13 题

看到 $\frac{1}{n^2}\sum i\cdot (\text{与}\frac{i}{n}\text{有关})$ 就想定积分定义：把一个 $\frac{1}{n}$ 当 $dx$、另一个 $\frac{i}{n}$ 与 $\ln \frac{i}{n}$ 当 $f(\frac{i}{n})$，得 ${\int }_0^{1}x\ln xdx$。补 $\ln \frac{n}{n}=0$ 让求和补齐到 $n$ 项是常用小技巧。定积分本身分部积分即可，唯一要小心的是 $x^2\ln x\to 0$ 的瑕点极限。

本题考查用定积分定义求极限。 把和式凑成 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{n}\ln \frac{i}{n}$ 的形式。

注意 $\ln \frac{n}{n}=0$，补上第 $n$ 项不改变值，故
$$\text{原式}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{n}\ln \frac{i}{n}={\int }_0^{1}x\ln xdx.$$

$${\int }_0^{1}x\ln xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^1\ln xd(x^2)=\frac{1}{2}\left(x^2\ln x{|}_0^1-{\int }_0^{1}xdx\right)=\frac{1}{2}\left(0-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}.$$
（其中 ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^2\ln x=0$。）故极限为 $-\frac{1}{4}$。