2025 年考研数学（二） 第 14 题

两条把手：其一，$e^{-u^2}$ 不可积但恒正，故 ${\int }_1^y{e}^{-u^2}du=0\Rightarrow y=1$——这是用「被积函数恒正 $\Rightarrow$ 上下限相等」定初值的经典手法；其二，第二式对 $t$ 求导时，变限积分上限 $y+t^2$ 的导数是 $e^{-(y+t^2{)}^2}\cdot (\frac{dy}{dt}+2t)$。代入 $t=0,y=1$ 解出 $\frac{dy}{dt}=2e$，再除以 $\frac{dx}{dt}=2$ 得 $e$。

本题考查参数方程求导与隐函数（含变限积分）求导。 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$，其中 $\frac{dy}{dt}$ 需对第二式隐函数求导。

由 $x=\ln (1+2t)$ 得 $\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+2t}$，故 $\frac{dx}{dt}{|}_{t=0}=2$。

先定 $t=0$ 时的 $y$： 令 $t=0$ 于第二式得 ${\int }_1^y{e}^{-u^2}du=0$，因 $e^{-u^2}>0$，故上下限相等，$y{|}_{t=0}=1$。

对第二式 $2t-{\int }_1^{y+t^2}{e}^{-u^2}du=0$ 两端关于 $t$ 求导：
$$2-e^{-(y+t^2{)}^2}\left(\frac{dy}{dt}+2t\right)=0.$$
令 $t=0,y=1$：$2-e^{-1}\frac{dy}{dt}=0$，得 $\frac{dy}{dt}{|}_{t=0}=2e$。

故 $\frac{dy}{dx}{|}_{t=0}=\frac{2e}{2}=e$。