2025 年考研数学（二） 第 15 题

看到 $Pdx+Qdy=0$ 先测 $\frac{\partial P}{\partial y}\stackrel{?}{=}\frac{\partial Q}{\partial x}$：此处两边都是 2，是全微分方程，最省事。之后「先对 $x$ 积分得含 $\phi (y)$ 的 $F$，再用 ${\partial }_{y}F=Q$ 定 $\phi$」是标准两步。也可把方程整理成齐次型 $\frac{dy}{dx}=\frac{2y-3x}{5y-2x}$ 用 $u=y/x$ 求解，殊途同归。

本题考查一阶微分方程求解（全微分方程）。 记 $P=2y-3x,Q=2x-5y$，验证 $\frac{\partial P}{\partial y}=2=\frac{\partial Q}{\partial x}$，故为全微分方程，存在 $F(x,y)$ 使 $dF=Pdx+Qdy$，通解 $F=C$。

由 $\frac{\partial F}{\partial x}=2y-3x$ 积分得 $F=2xy-\frac{3}{2}{x}^2+\phi (y)$。再由 $\frac{\partial F}{\partial y}=2x+{\phi }^{\prime }(y)=2x-5y$ 得 ${\phi }^{\prime }(y)=-5y$，$\phi (y)=-\frac{5}{2}{y}^2+C$。故
$$F(x,y)=2xy-\frac{3}{2}{x}^2-\frac{5}{2}{y}^2=C.$$

代入初值 $x=1,y=1$：$2-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-2=C$。即 $2xy-\frac{3}{2}{x}^2-\frac{5}{2}{y}^2=-2$，两端乘 $-2$ 整理得
$$5y^2-4xy+3x^2-4=0.$$