2025 年考研数学（二） 第 16 题

抽象方程组的钥匙是把「向量间的线性关系」直接翻译成方程组的解：${\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3-{\alpha }_4=0$ 就是系数 $(1,1,-1,-1{)}^T$ 的齐次解；右端 ${\alpha }_1+4{\alpha }_4$ 直接读系数 $(1,0,0,4{)}^T$ 就是特解。再用「无关三个 + 第四个可表示」定出 $r(A)=3$、基础解系仅一个向量，通解一步写出。

本题考查抽象线性方程组的通解结构（$Ax=b$ 通解 = 齐次通解 + 一个特解）。

定秩： ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 无关故 $r(A)\ge 3$；由 ${\alpha }_1+{\alpha }_2={\alpha }_3+{\alpha }_4$ 知 ${\alpha }_4={\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3$，四向量相关故 $r(A)\le 3$。于是 $r(A)=3$，$Ax=0$ 的基础解系含 $4-3=1$ 个向量。

齐次解： 由 ${\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3-{\alpha }_4=0$ 即 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)(1,1,-1,-1{)}^T=0$，故 $\xi =(1,1,-1,-1{)}^T$ 是 $Ax=0$ 的基础解系。

特解： 因 $A(1,0,0,4{)}^T={\alpha }_1+4{\alpha }_4$，故 $\eta =(1,0,0,4{)}^T$ 是 $Ax={\alpha }_1+4{\alpha }_4$ 的一个特解。

通解： $x=k(1,1,-1,-1{)}^T+(1,0,0,4{)}^T$，其中 $k$ 为任意常数。