2025 年考研数学（二） 第 11 题

反常积分定 $a$，先积出来再解方程即可。此题的陷阱在最后一步：$|2+a|=4$ 给出两个候选 $a=2,-6$，但 $a=-6$ 会让分母 $2x+a=2x-6$ 在积分区间 $(1,+\infty )$ 内部（$x=3$）取零、产生瑕点导致发散，必须舍去。凡是含参反常积分求参数，务必回代检验收敛性。

本题考查反常积分的计算。 先部分分式分解再积分，得到关于 $a$ 的方程。

$\frac{a}{x(2x+a)}=\frac{1}{x}-\frac{2}{2x+a}$，故
$${\int }_1^{+\infty }\frac{a}{x(2x+a)}dx=(\ln x-\ln |2x+a|){|}_1^{+\infty }=\ln \frac{x}{|2x+a|}{|}_1^{+\infty }.$$
当 $x\to +\infty$，$\frac{x}{|2x+a|}\to \frac{1}{2}$，故积分值 $=\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{1}{|2+a|}=\ln \frac{|2+a|}{2}$。

由 $\ln \frac{|2+a|}{2}=\ln 2$ 得 $\frac{|2+a|}{2}=2$，即 $|2+a|=4$，解得 $a=2$ 或 $a=-6$。

检验：当 $a=-6$ 时被积函数为 $\frac{-6}{x(2x-6)}=\frac{-3}{x(x-3)}$，在 $x=3$ 处有瑕点且 ${\int }_1^3\frac{1}{x(x-3)}dx$ 发散，故舍去；当 $a=2$ 时 $(1,+\infty )$ 上无瑕点，积分收敛。因此 $a=2$。