2022 年考研数学（二） 第 9 题

含参方程组判解，先用行列式抓住「唯一解」的主线：范德蒙德 $|A|=(a-1)(b-1)(b-a)$ 非零即唯一解。难点在 $|A|=0$ 时到底是无解还是无穷多解——这取决于右端 $b=(1,2,4{)}^{\mathrm{T}}$。注意到只要有两个 $x$ 值（$1,a,b$）相等，对应两行前三列相同，而右端 $1,2,4$ 两两不等，必产生矛盾行，故一律无解。这样就排除了无穷多解，答案是「唯一解或无解」。

本题考查含参数线性方程组解的判定，系数行列式为范德蒙德型。 先算 $|A|$ 判断唯一解情形，再对 $|A|=0$ 的退化情形讨论增广矩阵的秩。

系数行列式为范德蒙德行列式（按 $1,a,b$ 三个数）：
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& a^2\\ 1& b& b^2\end{array}\right|=(a-1)(b-1)(b-a).$$
当 $a\ne 1,b\ne 1,a\ne b$ 时 $|A|\ne 0$，由克拉默法则方程组有唯一解。

当 $|A|=0$ 时（即 $a,b,1$ 中有两个相等），对增广矩阵 $(A,b)$ 作初等行变换：
$$(A,b)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& a& a^2& 2\\ 1& b& b^2& 4\end{array}\right)\stackrel{r_2-r_1,r_3-r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& a-1& a^2-1& 1\\ 0& b-1& b^2-1& 3\end{array}\right).$$

逐一检查退化情形：

- $a=1$：第 2 行变为 $(0,0,0,1)$，$r(A,b)>r(A)$，无解；
- $b=1$：第 3 行变为 $(0,0,0,3)$，$r(A,b)>r(A)$，无解；
- $a=b(\ne 1)$：第 2、3 行前三列成比例（相同），但常数项 $1\ne 3$，$r(A,b)>r(A)$，无解。

可见只要 $|A|=0$，方程组必无解，绝不会出现无穷多解。因此方程组的解只有两种可能：$|A|\ne 0$ 时唯一解、$|A|=0$ 时无解，即「有唯一解或无解」，选 D。