2022 年考研数学（二） 第 8 题

看到「$A$ 的特征值恰为某组数」的充要条件，本质就是问 $A$ 与那个对角阵 $\Lambda$ 是什么关系。三个互异特征值保证可对角化，答案锁定「相似」。此题精髓在辨析四种矩阵关系：$P\Lambda Q$ 是等价（只同秩，太弱），$P\Lambda P^{-1}$ 是相似（正好），$Q\Lambda Q^{-1}$（$Q$ 正交）是相似的特例（够强但非必要，一般阵没有正交特征向量组），$P\Lambda P^{\mathrm{T}}$ 是合同（与相似不通）。故唯有 B。

本题考查矩阵相似的判定与「等价、相似、合同」三种关系的区别。 $3$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$（三个互异特征值）$⟺A$ 可对角化且相似于 $\Lambda =\mathrm{diag}(1,-1,0)$，故所求充要条件即「$A$ 与 $\Lambda$ 相似」。

选项 B 正确： $A=P\Lambda P^{-1}$ 即 $\Lambda =P^{-1}AP$，正是 $A$ 与 $\Lambda$ 相似的定义。相似必保持特征值，且 $\Lambda$ 的特征值恰为 $1,-1,0$，故 B 是充要条件。

选项 A 错误（等价，非充分）： $A=P\Lambda Q$（$P,Q$ 可逆）表示 $A$ 与 $\Lambda$ 等价，只保证同秩。同秩不能推出相似，例如 $\mathrm{diag}(1,0,0)$ 与 $\mathrm{diag}(2,0,0)$ 等价但特征值不同、不相似。故 A 仅为必要不充分条件。

选项 C 错误（正交相似，非必要）： $A=Q\Lambda Q^{-1}$（$Q$ 正交）是充分条件（正交矩阵可逆），但非必要：$A$ 不一定能取到一组两两正交的特征向量（此性质只对实对称矩阵成立），一般矩阵做不到。

选项 D 错误（合同，无关）： $A=P\Lambda P^{\mathrm{T}}$ 是 $A$ 与 $\Lambda$ 合同的定义。对一般矩阵，合同与相似互不蕴含；且与实对称矩阵 $\Lambda$ 合同者必为实对称矩阵，而 $A$ 未必对称。故 D 既不充分也不必要。综上选 B。