2022 年考研数学（二） 第 7 题

定积分比大小，区间一样就死磕被积函数。先在结构相近的 $I_1,I_2$ 之间下手：公因子 $\frac{1}{1+\cos x}$ 抵消后只剩分子，作差构造 $g(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{2}$ 判单调即得 $I_2>I_1$。再用两条常用不等式 $\ln (1+x)<x<\frac{2x}{1+\sin x}$ 与 $1+\cos x>1$ 搭桥，把 $I_2$ 的被积函数夹在 $x$ 以下、$I_3$ 的夹在 $x$ 以上，链式得 $I_2<I_3$。合起来 $I_1<I_2<I_3$。

本题考查定积分比较大小。 三个积分区间都是 $[0,1]$，故只需在 $(0,1)$ 上逐段比较被积函数的大小。

比较 $I_1$ 与 $I_2$： 两者都含因子 $\frac{1}{1+\cos x}>0$，只需比较分子 $\frac{x}{2}$ 与 $\ln (1+x)$。令 $g(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{2}$，则 $g(0)=0$，$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}=\frac{1-x}{2(1+x)}>0(0<x<1)$，故 $g(x)>0$，即 $\ln (1+x)>\frac{x}{2}$。于是被积函数 $\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}>\frac{x}{2(1+\cos x)}$，得 $I_2>I_1$。

比较 $I_2$ 与 $I_3$： 用同样方法可证在 $(0,1)$ 上 $\ln (1+x)<x$。又在 $(0,1)$ 上 $0<\sin x,\cos x<1$，故 $1<1+\sin x<2$，从而 $\frac{2x}{1+\sin x}>x$。于是
$$\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}<\frac{x}{1+\cos x}<x<\frac{2x}{1+\sin x},$$
（其中 $\frac{x}{1+\cos x}<x$ 因 $1+\cos x>1$）。故被积函数满足 $\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}<\frac{2x}{1+\sin x}$，得 $I_2<I_3$。

综合两步：$I_1<I_2<I_3$，故选 A。