2022 年考研数学（二） 第 6 题

遇到 $\lim$ 套两层三角函数，先问外层函数在内层的取值范围上是否单调。$\sin$ 在 $[0,1]$（正是 $\cos x_n$ 的范围）上单调，故能用 $\arcsin$ 把 $\lim \sin (\cos x_n)$ 剥成 $\lim \cos x_n$——D 的前半句成立；而 $\cos$ 是偶函数、在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上不单调，剥不出 $\lim \sin x_n$，故 A、C 垮掉。至于 $\lim x_n$ 一律不能保证：万能反例 $x_n=(-1{)}^n\frac{\pi }{2}$ 让内层数列振荡却使各外层复合收敛。

本题考查数列极限与连续（反）函数的关系。 判断复合极限存在能否「剥出」内层数列极限，关键看外层函数在相应区间上是否单调（有连续反函数）。

选项 D 正确： 当 $x_n\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 时 $\cos x_n\in [0,1]\subset [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，而 $\sin$ 在 $[0,1]$ 上严格单调、有连续反函数 $\arcsin$。若 ${\lim }_{n\to \infty }\sin (\cos x_n)=a$ 存在，则
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\arcsin (\sin (\cos x_n))=\arcsin a$$
存在。但 $\lim x_n$ 未必存在：取 $x_n=(-1{)}^n\frac{\pi }{2}$，则 $\cos x_n\equiv 0$ 收敛，而 $x_n$ 在 $\pm \frac{\pi }{2}$ 间振荡不收敛。

选项 B 错误： 同一反例 $x_n=(-1{)}^n\frac{\pi }{2}$ 使 $\sin (\cos x_n)=\sin 0=0$ 存在，但 $\lim x_n$ 不存在。

选项 A、C 错误： $\cos$ 在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上是偶函数、不单调，无连续反函数，故 $\lim \cos (\sin x_n)$ 存在不能推出 $\lim \sin x_n$ 存在。取 $x_n=(-1{)}^n\frac{\pi }{2}$，则 $\sin x_n=(-1{)}^n$，$\cos (\sin x_n)=\cos 1$ 为常数（极限存在），但 $\lim \sin x_n$ 与 $\lim x_n$ 均不存在。故选 D。