2022 年考研数学（二） 第 5 题

含参瑕积分求收敛范围，务必把区间两端分别当瑕点检查。$x=0$ 端的 $\ln x$ 是「软」因子——它只贡献一个可被任意小 $\delta$ 吸收的阶，所以收敛条件由 $x^{-p}$ 决定，即 $p<1$。$x=1$ 端要先用 $\ln x=\ln (1-(1-x))\sim -(1-x)$ 把对数化成幂，得到 $\sim -(1-x{)}^p$，此处 $t^p$ 收敛要求指数 $p>-1$。两端取交集 $(-1,1)$。

本题考查反常积分（瑕积分）的收敛性判别。 积分区间两端 $x=0$ 与 $x=1$ 都可能是瑕点，须分别讨论，收敛当且仅当两端都收敛。用「极限判别法」：若 ${\lim }_{x\to a}(x-a{)}^{\lambda }f(x)=A$（有限非零），则 $\lambda <1$ 收敛、$\lambda \ge 1$ 发散。

端点 $x=0$： 此处 $(1-x{)}^{1-p}\to 1$，被积函数 $\sim \frac{\ln x}{x^p}$。对任意小的 $\delta >0$，
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{p+\delta }\cdot \frac{\ln x}{x^p(1-x{)}^{1-p}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\delta }\ln x=0.$$
于是当 $p<1$ 时可取 $\delta$ 使 $p+\delta <1$，积分在 $0$ 端收敛；当 $p\ge 1$ 时，例如 $p=1$ 有 ${\int }_0^{1/2}\frac{\ln x}{x}dx=\frac{(\ln x{)}^2}{2}{|}_0^{1/2}=-\infty$ 发散。故 $0$ 端收敛 $⟺p<1$。

端点 $x=1$： 令 $t=1-x\to 0^{+}$，则 $\ln x=\ln (1-t)\sim -t$，被积函数 $\sim \frac{-t}{t^{1-p}}=-t^p$。故
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(1-x{)}^{-p}\cdot \frac{\ln x}{x^p(1-x{)}^{1-p}}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{-p}\cdot (-t^p)=-1(\text{有限非零}).$$
由判别法，$1$ 端收敛 $⟺-p<1⟺p>-1$。

两端同时收敛需 $p<1$ 且 $p>-1$，即 $p\in (-1,1)$。故选 A。