2022 年考研数学（二） 第 4 题

被积函数里带着「上限同款」的参变量 $x-y$，直接对上限求导会漏项，标准做法是先把 $(x-y)$ 这个与 $t$ 无关的因子提到积分外，化成 $(x-y)\int f-\int tf$。这样求偏导时含 $(x-y)f(x-y)$ 的两项恰好抵消，一阶偏导干净地落到 $\pm {\int }_0^{x-y}f$。由于 $x$、$y$ 只以 $x-y$ 组合出现，${\partial }_x$ 与 ${\partial }_y$ 差一个负号（一阶反号），再求一次导负号平方变正号（二阶同号），故选 C。

本题考查含参变量的变限积分求偏导数。 先把参变量 $x-y$ 从被积函数中分离出去，再用变限积分求导公式。

整理 $F$：
$$F(x,y)={\int }_0^{x-y}(x-y-t)f(t)dt=(x-y){\int }_0^{x-y}f(t)dt-{\int }_0^{x-y}tf(t)dt.$$

对 $x$ 求偏导（注意 $\frac{\partial (x-y)}{\partial x}=1$）：
$$\frac{\partial F}{\partial x}={\int }_0^{x-y}f(t)dt+(x-y)f(x-y)-(x-y)f(x-y)={\int }_0^{x-y}f(t)dt.$$

对 $y$ 求偏导（注意 $\frac{\partial (x-y)}{\partial y}=-1$，各项多一个负号）：
$$\frac{\partial F}{\partial y}=-{\int }_0^{x-y}f(t)dt-(x-y)f(x-y)+(x-y)f(x-y)=-{\int }_0^{x-y}f(t)dt.$$
因此 $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}$。

再求二阶偏导：
$$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}{\int }_0^{x-y}f(t)dt=f(x-y),\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(-{\int }_0^{x-y}f(t)dt\right)=-(-f(x-y))=f(x-y).$$
故 $\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}$。两个结论合起来即 C。