2022 年考研数学（二） 第 3 题

这类题要盯住「单点信息 vs 邻域信息」的方向。$f^{\prime }(x_0)>0$ 能推出邻域单增，靠的是 $f^{\prime }$ 的连续性（由二阶可导保证），故 B 对。反向的 A、C 是「邻域性态推单点严格不等号」，只能得到非严格 $\ge 0$，$x^3$、$x^4$ 就是经典反例。D 的陷阱最深：$f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 想推邻域凹性需要 $f^{\prime \prime }$ 连续，而题目只保证二阶导「存在」不保证「连续」，用带 $x^4\sin \frac{1}{x}$ 的振荡函数即可反驳。

本题考查一阶、二阶导数与函数性态的关系，核心在于「单点导数符号」与「邻域内性态」之间能否互推。

选项 B 正确： 由 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $2$ 阶导数知 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 处可导，从而 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 处连续，即 ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0)>0$。由极限的局部保号性，存在 $\delta >0$，当 $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故 $f(x)$ 在该邻域内单调增加。

选项 A 错误： $f(x)$ 在 $x_0$ 邻域内单调增加只能推出该邻域内 $f^{\prime }(x)\ge 0$，不能保证 $f^{\prime }(x_0)>0$。反例 $f(x)=x^3$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调增加，但 $f^{\prime }(0)=0$。

选项 C 错误： $f(x)$ 在 $x_0$ 邻域内是凹函数只能推出 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$，不能保证 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$。反例 $f(x)=x^4$ 是凹函数，但 $f^{\prime \prime }(0)=0$。

选项 D 错误： 因为题目只给出 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有二阶导，$f^{\prime \prime }(x)$ 未必连续，故 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 不能通过保号性推出邻域内 $f^{\prime \prime }(x)>0$。反例
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^4\sin \frac{1}{x}+\frac{x^2}{4},& x\ne 0,\\ 0,& x=0,\end{array}$$
可算得 $f^{\prime \prime }(0)=\frac{1}{2}>0$，但 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 附近振荡变号，不存在使 $f$ 保持凹性的邻域。故选 B。