2022 年考研数学（二） 第 2 题

看到二次积分而内层积不出来，第一反应就是交换积分次序。此题内层 $\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}$ 关于 $x$ 无初等原函数，但把 $y$ 放到内层后先积出 ${\int }_0^{x}ydy=\frac{x^2}{2}$，正好凑出 $x^{2}dx$ 与 $d(1+x^3)$ 成比例，换元 $u=1+x^3$ 一步到位。这是「交换次序 + 凑微分」的标准套路。

本题考查二重积分中交换积分次序。 按原次序（先对 $x$、后对 $y$）积分时，内层 $\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^3}}$ 无初等原函数，故须交换次序。

原二次积分对应的积分区域是由直线 $y=x$、直线 $x=2$ 与 $x$ 轴围成的三角形：
$$D=\{(x,y)\mid y\le x\le 2,0\le y\le 2\}=\{(x,y)\mid 0\le y\le x,0\le x\le 2\}.$$
改写成先对 $y$、后对 $x$：

$${\int }_0^{2}dy{\int }_y^2\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}dx={\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}dx{\int }_0^{x}ydy={\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\cdot \frac{x^2}{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^2\frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}dx.$$

令 $u=1+x^3$，$du=3x^{2}dx$，当 $x:0\to 2$ 时 $u:1\to 9$：
$$\frac{1}{2}{\int }_0^2\frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}{\int }_1^9\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{u}{|}_1^9=\frac{1}{3}(3-1)=\frac{2}{3}.$$
故应选 D。