2022 年考研数学（二） 第 1 题

凡是判断无穷小等价类命题，先把每句话化成极限式再看。①是平方保持等价（比值取平方仍为 1），显然真；②是「平方等价」反推「等价」，比值可能是 $-1$，取 $\beta =-\alpha$ 一击即破，这是最经典的陷阱；③④其实是同一个等式 $\frac{\alpha -\beta }{\alpha }=1-\frac{\beta }{\alpha }$ 的两个方向——只要 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$ 与 $\lim \frac{\alpha -\beta }{\alpha }=0$ 互相等价，二者同真。故答案含 ①③④。

本题考查无穷小量等价的概念以及 $o(\cdot )$ 记号的含义。 关键工具是：$\alpha \sim \beta ⟺\lim \frac{\alpha }{\beta }=1$，而 $\alpha -\beta =o(\alpha )⟺\lim \frac{\alpha -\beta }{\alpha }=0$。逐一分析四个命题。

命题①（真）： 若 $\alpha \sim \beta$，则 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=1$，从而 $\lim \frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}={\left(\lim \frac{\alpha }{\beta }\right)}^2=1$，即 ${\alpha }^2\sim {\beta }^2$。

命题②（假）： ${\alpha }^2\sim {\beta }^2$ 只给出 $\lim \frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}=1$，即 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=\pm 1$。取 $\beta (x)=-\alpha (x)$，则 ${\alpha }^2\sim {\beta }^2$，但 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=-1\ne 1$，故 $\alpha$ 与 $\beta$ 并不等价。

命题③（真）： 若 $\alpha \sim \beta$，则
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\alpha -\beta }{\alpha }=1-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=1-1=0,$$
即 $\alpha -\beta =o(\alpha )$。

命题④（真）： 若 $\alpha -\beta =o(\alpha )$，即 $\lim \frac{\alpha -\beta }{\alpha }=0$，则
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\alpha -(\alpha -\beta )}{\alpha }=1-0=1,$$
故 $\alpha \sim \beta$。

综上，真命题为 ①③④，应选 C。