2022 年考研数学（二） 第 10 题

向量组等价的本质是「张成同一子空间」，用秩相等来判。两组共用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$，所以只要各自的三阶行列式都非零，就都满秩 $3$、张满 ${\mathbb{R}}^3$，自动等价。于是把两个行列式因式分解，找它们的零点：$(\lambda -1{)}^2(\lambda +2)$ 与 $(\lambda -1{)}^2(\lambda +1{)}^2$。公共根 $\lambda =1$ 让四个向量全变成同一个向量、两组同为秩 1 仍等价，可保留；而 $\lambda =-2$、$\lambda =-1$ 各让一个行列式单独为零、造成两组秩一个 3 一个 2，不等价，必须挖掉。故答案是除去 $-1,-2$。

本题考查向量组等价的判定。 两向量组等价 $⟺$ 它们可互相线性表示 $⟺r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$。由于都含公共向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$，可通过两个三阶行列式判断。

计算两个行列式：
$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2(\lambda +2),$$
$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & \lambda \\ 1& 1& {\lambda }^2\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2(\lambda +1{)}^2.$$

当 $\lambda \ne 1,-2,-1$ 时，两行列式均不为 $0$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$ 都是 $3$ 维空间的极大无关组（秩均为 $3$），彼此等价。

边界情形：

- $\lambda =1$：${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3={\alpha }_4=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，两组秩都为 $1$、张成同一直线，等价（故 $\lambda =1$ 满足）；
- $\lambda =-2$：$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=0$ 但 $|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4|=(-3{)}^2(-1{)}^2\ne 0$，两组秩为 $2$ 与 $3$ 不等，不等价（排除）；
- $\lambda =-1$：$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4|=0$ 但 $|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=(-2{)}^2\cdot 1\ne 0$，两组秩为 $3$ 与 $2$ 不等，不等价（排除）。

综上，等价当且仅当 $\lambda \ne -1$ 且 $\lambda \ne -2$（$\lambda =1$ 已含其中），选 C。