2022 年考研数学（二） 第 11 题

$1^{\infty }$ 型极限的通用套路：$A^B=e^{B\ln A}$，把问题转成求 $B\ln A$。这里巧在把底减 1 写成 $\frac{e^x-1}{2}$ 这个无穷小，套 $\ln (1+u)\sim u$，再让 $\cot x$ 提供 $\frac{1}{x}$、$e^x-1$ 提供 $x$，一路等价替换，指数收敛到 $\frac{1}{2}$，答案 $e^{1/2}=\sqrt{e}$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型幂指函数极限。 当 $x\to 0$ 时底 $\frac{1+e^x}{2}\to 1$、指数 $\cot x\to \infty$，属 $1^{\infty }$ 未定式，取对数化为 $0\cdot \infty$。

写成 ${\left(\frac{1+e^x}{2}\right)}^{\cot x}=e^{\cot x\cdot \ln \frac{1+e^x}{2}}$，先求指数的极限：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\cot x\cdot \ln \frac{1+e^x}{2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{e^x-1}{2}\right)}{\tan x}.$$

用等价无穷小 $\ln (1+u)\sim u$（其中 $u=\frac{e^x-1}{2}\to 0$）、$\tan x\sim x$、$e^x-1\sim x$：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{e^x-1}{2}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}.$$

因此原极限 $=e^{1/2}=\sqrt{e}$。