2022 年考研数学（二） 第 12 题

隐函数求二阶导，节奏是「定点值 → 求一次导代值 → 再求一次导代值」。先由 $x=1$ 解出 $y(1)=1$（$y^3+y-2$ 单调保证唯一根）。第一次求导得到含 $y^{\prime }$ 的关系，代入即得 $y^{\prime }(1)=-\frac{3}{4}$。第二次求导时对 $(x+3y^2)y^{\prime }$ 与 $y$ 都要用乘积/链式法则，把三个已知值 $x=1,y=1,y^{\prime }=-\frac{3}{4}$ 一并代入解出 $y^{\prime \prime }$。逐层代值可避免出现更高阶未知量。

本题考查隐函数的高阶导数计算。 先定 $x=1$ 处的 $y$ 值，再对方程两端连续求导两次并代值。

将 $x=1$ 代入原方程：$1+y+y^3=3$，即 $y^3+y-2=0$，观察得 $y=1$ 是其一个根；由 $f(y)=y^3+y-2$ 有 $f^{\prime }(y)=3y^2+1>0$ 单调，故 $y=1$ 是唯一解，即 $y(1)=1$。

对 $x^2+xy+y^3=3$ 两端关于 $x$ 求导：
$$2x+y+x{y}^{\prime }+3y^2{y}^{\prime }=0,\text{即}2x+y+(x+3y^2)y^{\prime }=0.(1)$$
代入 $x=1,y=1$：$2+1+(1+3)y^{\prime }=0\Rightarrow 3+4y^{\prime }=0\Rightarrow y^{\prime }(1)=-\frac{3}{4}$。

对 $(1)$ 式两端再关于 $x$ 求导：
$$2+y^{\prime }+(1+6y{y}^{\prime })y^{\prime }+(x+3y^2)y^{\prime \prime }=0.$$
代入 $x=1,y=1,y^{\prime }=-\frac{3}{4}$：
$$2+\left(-\frac{3}{4}\right)+\left(1+6\cdot 1\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(-\frac{3}{4}\right)+4y^{\prime \prime }=0.$$
即 $2-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{2}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)+4y^{\prime \prime }=0$，$\frac{31}{8}+4y^{\prime \prime }=0$，解得 $y^{\prime \prime }(1)=-\frac{31}{32}$。