2022 年考研数学（二） 第 13 题

分母是判别式小于 0 的二次式，套「拆分子」定式：$\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ 里把 $Mx+N$ 写成 $\frac{M}{2}(2x+p)+$常数，前半积出 $\ln$、后半配方积出 $\arctan$。此题里 $\ln$ 部分因上下限处分母同为 1 直接抵消为 0，全部贡献来自 $\arctan$ 那一项，$\arctan (\pm \frac{1}{\sqrt{3}})=\pm \frac{\pi }{6}$，凑出 $\frac{8\sqrt{3}\pi }{9}$。

本题考查有理函数定积分（分母为无实根二次三项式，分子为一次式）。 把分子拆成「分母导数」加常数，分别积成对数项与反正切项。

注意 $(x^2-x+1{)}^{\prime }=2x-1$，把分子写成 $2x+3=(2x-1)+4$，于是
$${\int }_0^1\frac{2x+3}{x^2-x+1}dx={\int }_0^1\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx+4{\int }_0^1\frac{dx}{x^2-x+1}.$$

第一部分： ${\int }_0^1\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx=\ln (x^2-x+1){|}_0^1=\ln 1-\ln 1=0$。

第二部分： 配方 $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$，故
$$4{\int }_0^1\frac{dx}{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}=4\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{3}}{|}_0^1=\frac{8}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{6}-\left(-\frac{\pi }{6}\right)\right)=\frac{8}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{8\sqrt{3}\pi }{9}.$$

两部分相加：$0+\frac{8\sqrt{3}\pi }{9}=\frac{8\sqrt{3}\pi }{9}$。