2022 年考研数学（二） 第 14 题

常系数齐次线性方程「特征方程 → 按根型写通解」是死套路。此题特征方程能提出因子 $r$，得单根 $0$（对应常数 $C_1$）和二次因子 $r^2-2r+5$ 的共轭复根 $1\pm 2i$（实部 1 进指数 $e^x$、虚部 2 进 $\cos 2x,\sin 2x$）。三个独立解线性组合即通解。

本题考查高阶常系数齐次线性微分方程的通解。 写出特征方程，按特征根的类型写出对应的通解。

特征方程为
$$r^3-2r^2+5r=0⟹r(r^2-2r+5)=0.$$
解得 $r_1=0$，以及 $r_{2,3}=\frac{2\pm \sqrt{4-20}}{2}=1\pm 2i$。

特征根与通解的对应：

- 单实根 $r_1=0$ 贡献 $C_1{e}^{0\cdot x}=C_1$；
- 一对共轭复根 $1\pm 2i$（$\alpha =1,\beta =2$）贡献 $e^x(C_2\cos 2x+C_3\sin 2x)$。

故通解为
$$y(x)=C_1+e^x(C_2\cos 2x+C_3\sin 2x),$$
其中 $C_1,C_2,C_3$ 为任意常数。