2022 年考研数学（二） 第 15 题

极坐标图形求面积，直接上 $A=\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$，区间就是题给的 $\theta$ 范围。$r=\sin 3\theta$ 在 $[0,\frac{\pi }{3}]$ 上正好扫出三叶玫瑰线的一片花瓣。平方后用降幂 ${\sin }^2\to \frac{1-\cos }{2}$ 化成可积形式，$\cos 6\theta$ 的积分在整周期端点归零，只留下 $\frac{1}{4}\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{12}$。

本题考查定积分在几何上的应用——极坐标下的面积公式。 对由 $r=r(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$ 围成的图形，面积为 $A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }[r(\theta ){]}^{2}d\theta$。此处 $L$ 是三叶玫瑰线 $r=\sin 3\theta$ 的一个花瓣（$0\le \theta \le \frac{\pi }{3}$）。

代入面积公式并用降幂公式 ${\sin }^{2}u=\frac{1-\cos 2u}{2}$：
$$A=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /3}(\sin 3\theta {)}^{2}d\theta =\frac{1}{4}{\int }_0^{\pi /3}(1-\cos 6\theta )d\theta .$$

计算：
$$A=\frac{1}{4}{\left[\theta -\frac{1}{6}\sin 6\theta \right]}_0^{\pi /3}=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{1}{6}\sin 2\pi -0\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{12}.$$