2022 年考研数学（二） 第 16 题

初等变换题的关键：行变换 = 左乘初等矩阵、列变换 = 右乘初等矩阵。把题述两步写成 $P_{1}A{P}_2=B$，要 $A^{-1}$ 就直接对等式两边取逆得 $A^{-1}=P_2{B}^{-1}{P}_1$，避免了先求 $A$ 再求逆的绕路。只需算一次 $B^{-1}$（初等行变换），再乘两个简单初等矩阵即可，迹取对角和为 $-1$。

本题考查初等变换与初等矩阵、矩阵求逆。 把两次初等变换写成左乘、右乘初等矩阵，解出 $A$（或直接解出 $A^{-1}$），再求迹。

记 $B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ 1& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$。交换第 $2,3$ 行对应左乘 $P_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$；将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第 $1$ 列对应右乘 $P_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。于是 $P_{1}A{P}_2=B$，从而 $A=P_1^{-1}B{P}_2^{-1}$，$A^{-1}=P_2{B}^{-1}{P}_1$。

先求 $B^{-1}$。对 $(B,E)$ 作初等行变换可得
$$B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& -1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right).$$

于是
$$A^{-1}=P_2{B}^{-1}{P}_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& -1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ -1& 1& -1\end{array}\right).$$
故 $\mathrm{tr}(A^{-1})=0+0+(-1)=-1$。