2022 年考研数学（二） 第 17 题

题目给了 $x=1$ 处可导却让极限在 $x\to 0$ 取，典型「凑导数定义」信号。先用连续性 + 极限存在把 $f(1)$ 逼成 0（否则分子非零、分母趋零极限发散）。有了 $f(1)=0$，就能给每个 $f(\text{内层})$ 补上 $-f(1)$ 而不改变值，从而凑出 $\frac{f(g(x))-f(1)}{g(x)-1}$ 这一导数定义结构；再用 $e^{x^2}-1\sim x^2$、${\sin }^{2}x\sim x^2$ 把内层增量与 $x^2$ 的比化为 1。最终 $f^{\prime }(1)-3f^{\prime }(1)=2$ 解得 $f^{\prime }(1)=-1$。

本题考查导数的定义（凑导数定义）。 先由可导（从而连续）确定 $f(1)$，再把极限式拆成两个导数定义式。

第一步：确定 $f(1)$。 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导故连续。当 $x\to 0$ 时 $e^{x^2}\to 1$、$1+{\sin }^{2}x\to 1$，故分子 $\to f(1)-3f(1)=-2f(1)$。由于分母 $x^2\to 0$ 而整个极限存在（等于 2），分子必须趋于 0，即 $-2f(1)=0$，得 $f(1)=0$。

第二步：拆成导数定义。 由 $f(1)=0$，
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e^{x^2})}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e^{x^2})-f(1)}{e^{x^2}-1}\cdot \frac{e^{x^2}-1}{x^2}=f^{\prime }(1)\cdot 1=f^{\prime }(1),$$
其中用了 $e^{x^2}-1\sim x^2$；同理
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1+{\sin }^{2}x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1+{\sin }^{2}x)-f(1)}{{\sin }^{2}x}\cdot \frac{{\sin }^{2}x}{x^2}=f^{\prime }(1)\cdot 1=f^{\prime }(1).$$

第三步：代回原式。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e^{x^2})-3f(1+{\sin }^{2}x)}{x^2}=f^{\prime }(1)-3f^{\prime }(1)=-2f^{\prime }(1)=2,$$
解得 $f^{\prime }(1)=-1$。