2020 年考研数学（二） 第 23 题

这类「$P=(\alpha ,A\alpha ,\dots )$」题的灵魂是关系式 $AP=PB$：把 $A$ 作用到 $P$ 的每一列，再用题给的递推（这里 $A^2\alpha =6\alpha -A\alpha$）把 $A^2\alpha$ 拉回到 $\alpha ,A\alpha$ 的组合，读出的系数矩阵就是 $B=P^{-1}AP$。这本质上是「$\alpha$ 生成的循环子空间上 $A$ 的矩阵表示」，$B$ 恰是特征多项式 ${\lambda }^2+\lambda -6$ 的友矩阵。相似保持可对角化性，于是只看 $B$ 的特征值是否互异即可——两个不同根 $2,-3$，故 $A$ 可对角化。

本题综合考查可逆性、相似与对角化。

（Ⅰ） 只需证 $\alpha ,A\alpha$ 线性无关。反设线性相关，则存在不全为零的 $k_1,k_2$ 使 $k_1\alpha +k_{2}A\alpha =0$。若 $k_2=0$，则 $k_1\alpha =0$，因 $\alpha \ne 0$ 得 $k_1=0$，矛盾；若 $k_2\ne 0$，则 $A\alpha =-\frac{k_1}{k_2}\alpha$，即 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量，与已知矛盾。故 $\alpha ,A\alpha$ 线性无关，$P=(\alpha ,A\alpha )$ 为可逆矩阵。

（Ⅱ） 由 $A^2\alpha +A\alpha -6\alpha =0$ 得 $A^2\alpha =6\alpha -A\alpha$。计算
$$AP=A(\alpha ,A\alpha )=(A\alpha ,A^2\alpha )=(A\alpha ,6\alpha -A\alpha ).$$
把两列用 $P$ 的列 $\alpha ,A\alpha$ 表示：$A\alpha =0\cdot \alpha +1\cdot A\alpha$，$6\alpha -A\alpha =6\cdot \alpha +(-1)\cdot A\alpha$，故
$$AP=(\alpha ,A\alpha )\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right).$$

由（Ⅰ）$P$ 可逆，两端左乘 $P^{-1}$ 得 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)$。

判断对角化。 记 $B=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)$，$A$ 与 $B$ 相似，故 $A$ 可对角化 ⟺ $B$ 可对角化。$B$ 的特征多项式
$$|\lambda E-B|=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -6\\ -1& \lambda +1\end{array}\right|={\lambda }^2+\lambda -6=(\lambda -2)(\lambda +3),$$
有两个不同特征值 $2,-3$，故 $B$ 可对角化且相似于 $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right)$。由相似的传递性，$A$ 也相似于 $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right)$。