2020 年考研数学（二） 第 22 题

「$f$ 经可逆变换化为 $g$」的实质是 $A,B$ 合同，$P^{T}AP=B$。第（Ⅰ）问用合同的不变量——秩（或正负惯性指数）定参数最省力：$r(B)=2\Rightarrow |A|=0$，再用 $r(A)=2$ 剔除增根。第（Ⅱ）问求 $P$ 的标准桥梁法：把 $f$、$g$ 各自配方化到同一个规范形 $z_1^2+z_2^2$，$P=P_1{P}_2^{-1}$。这里的大坑是 $g$ 配方后取 $z_2=2y_3$（对应 $4y_3^2$ 中系数 $4$ 被规范化的方向），若把非零项 $4y_3^2$ 错配到 $z$ 的位置就会与 $f$ 的规范形不对应。因 $P$ 不唯一，用初等合同变换直接把 $A$ 变到 $B$ 也可得到另一形式的 $P$。

本题考查二次型的合同变换。 $f$ 经可逆线性变换化为 $g$，说明二者对应矩阵合同（$P^{T}AP=B$），故秩相等、正负惯性指数相等。

（Ⅰ） $f$ 的矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& a\\ a& 1& a\\ a& a& 1\end{array}\right)$，$g$ 的矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$。易见 $r(B)=2$。合同不改变秩，故 $r(A)=2$，即 $|A|=0$。

计算 $|A|=(2a+1)(1-a{)}^2$。由 $|A|=0$ 得 $a=1$ 或 $a=-\frac{1}{2}$。但 $a=1$ 时 $A$ 为全 $1$ 矩阵，$r(A)=1\ne 2$，不合题意。故 $a=-\frac{1}{2}$。

（Ⅱ） 取 $a=-\frac{1}{2}$，用配方法把 $f,g$ 分别化为规范形，再拼出 $P$。
$$f=x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1{x}_2-x_1{x}_3-x_2{x}_3={\left(x_1-\frac{1}{2}{x}_2-\frac{1}{2}{x}_3\right)}^2+\frac{3}{4}(x_2-x_3{)}^2.$$
令 $z_1=x_1-\frac{1}{2}{x}_2-\frac{1}{2}{x}_3,z_2=\frac{\sqrt{3}}{2}(x_2-x_3),z_3=x_3$，得 $f=z_1^2+z_2^2$（规范形），对应 $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=P_1\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right)$，其中 $P_1=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{\sqrt{3}}& 1\\ 0& \frac{2}{\sqrt{3}}& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

对 $g$：$g=(y_1+y_2{)}^2+4y_3^2$。令 $z_1=y_1+y_2,z_2=2y_3,z_3=y_2$（务必让 $z_1^2+z_2^2$ 与 $f$ 的规范形对应），得 $\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right)=P_2^{-1}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$，其中 $P_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$。

由 $x=P_{1}z$ 与 $z=P_2^{-1}y$ 得 $x=P_1{P}_2^{-1}y$，故
$$P=P_1{P}_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{\sqrt{3}}& 1\\ 0& \frac{2}{\sqrt{3}}& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& \frac{2}{\sqrt{3}}\\ 0& 1& \frac{4}{\sqrt{3}}\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$$
可验证 $P^{T}AP=B$。（$P$ 不唯一，凡满足 $P^{T}AP=B$ 的可逆阵均可。）