2020 年考研数学（二） 第 21 题

几何 + 微分方程综合题的通用套路：把题目中的几何量（切线截距、面积）都用 $f,f^{\prime },\int f$ 表示，由给定关系列出方程。含 ${\int }_0^{x}f$ 的方程先两端求导消积分，本题得到不显含 $x$ 的 $2(y^{\prime }{)}^2=3y{y}^{\prime \prime }$——这是「可降阶」的典型信号（缺 $x$），令 $p=y^{\prime }$ 且 $y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$ 化为一阶。最后过原点条件 $f(0)=0$ 定掉一个常数，另一个常数因几何相似性保留为任意正数，得一族立方曲线 $y=C{x}^3$。

本题综合考查导数的几何应用、定积分几何应用与可降阶微分方程。 思路：分别写出两块面积，由比值 $3:2$ 建立微分方程再求解。

表示两块面积。 设 $M(x,f(x))$，$f(x)>0$。$M$ 处切线 $Y-f(x)=f^{\prime }(x)(X-x)$，令 $Y=0$ 得 $T$ 的横坐标 $X=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$。于是 $|MP|=f(x)$，$|TP|=\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$，
$$S_{△MTP}=\frac{1}{2}|MP|\cdot |TP|=\frac{[f(x){]}^2}{2f^{\prime }(x)}.$$
曲边梯形（曲线、$MP$、$x$ 轴所围）面积 $S={\int }_0^{x}f(t)dt$。

建立方程。 由 $\frac{S}{S_{△MTP}}=\frac{3}{2}$，即 $\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{[f(x){]}^2/(2f^{\prime }(x))}=\frac{3}{2}$，整理得
$$4{\int }_0^{x}f(t)dt=\frac{3[f(x){]}^2}{f^{\prime }(x)}.(1)$$

求解。 对 (1) 两端求导：$4f=\frac{3\{2f(f^{\prime }{)}^2-f^2{f}^{\prime \prime }\}}{(f^{\prime }{)}^2}$，整理得 $2(f^{\prime }{)}^2=3f{f}^{\prime \prime }$，即 $2(y^{\prime }{)}^2=3y{y}^{\prime \prime }$。这是可降阶方程，令 $p=y^{\prime }$，$y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$，得 $2p^2=3yp\frac{dp}{dy}$，约去 $p$（$p=y^{\prime }>0$）：$\frac{dp}{p}=\frac{2}{3}\frac{dy}{y}$。

积分得 $\ln p=\frac{2}{3}\ln y+C_0$，即 $p=y^{\prime }=C_1{y}^{2/3}$。再分离变量 $\frac{dy}{y^{2/3}}=C_{1}dx$，积分得 $3y^{1/3}=C_{1}x+C_2$。由曲线过原点 $f(0)=0$ 得 $C_2=0$，故 $y^{1/3}=\frac{C_1}{3}x$，即
$$y={\left(\frac{C_1}{3}\right)}^3{x}^3=C{x}^3(C>0).$$

综上，所求曲线方程为 $y=C{x}^3$，其中 $C$ 为任意正常数。