2020 年考研数学（二） 第 2 题

分式函数找第二类间断点，先圈出所有让分子/分母出问题的点，再一个个算左右极限。这里最容易漏判的是 $x=0$：分子分母都趋于 $0$，用等价无穷小 $\ln (1+x)\sim x,e^x-1\sim x$ 一约，极限有限，属第一类（可去），不计入。而 $e^{1/(x-1)}$ 在 $x=1$ 的左右极限天差地别（$0$ 与 $+\infty$），只要有一侧为无穷即判第二类。

本题考查间断点的定义与分类。 使 $f(x)$ 无定义的点为 $x=-1,0,1,2$。第二类间断点指左、右极限至少有一个不存在（含 $\infty$），逐点计算即可。

$x=-1$：$e^{\frac{1}{x-1}}\to e^{-1/2}$ 有限非零，$(e^x-1)(x-2)\to (e^{-1}-1)(-3)$ 有限非零，而 $\ln |1+x|\to -\infty$，故 $f\to \infty$，是无穷（第二类）间断点。

$x=0$：$e^{\frac{1}{x-1}}\to e^{-1}$，$\frac{\ln |1+x|}{e^x-1}\to 1$（分子分母都 $\sim x$），$(x-2)\to -2$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=e^{-1}\cdot 1\cdot \frac{1}{-2}=-\frac{1}{2e}$ 存在有限，是可去（第一类）间断点。

$x=1$：关键在 $e^{\frac{1}{x-1}}$。当 $x\to 1^{+}$，$\frac{1}{x-1}\to +\infty$，$e^{\frac{1}{x-1}}\to +\infty$，故右极限 $=\infty$；（当 $x\to 1^{-}$ 时 $e^{\frac{1}{x-1}}\to 0$，左极限有限。）由于右极限为 $\infty$，$x=1$ 是第二类间断点。

$x=2$：$(x-2)\to 0$ 而分子 $e^{\frac{1}{x-1}}\ln |1+x|\to e\cdot \ln 3\ne 0$，故 $f\to \infty$，是无穷（第二类）间断点。

综上，第二类间断点为 $x=-1,1,2$ 共 3 个（$x=0$ 是第一类），故选 C。