2020 年考研数学（二） 第 3 题

见到 $\sqrt{x}$ 与 $\sqrt{1-x}$ 同框，且外面套 $\arcsin \sqrt{x}$，几乎是「令 $\sqrt{x}=\sin t$」的标准信号。这个代换一箭三雕：把 $\arcsin \sqrt{x}$ 变成 $t$，把 $\sqrt{x(1-x)}$ 变成 $\sin t\cos t$，又与 $dx$ 里的 $2\sin t\cos t$ 约掉，积分瞬间坍缩成 $\int 2tdt$。

本题考查定积分的计算（根式换元）。 被积函数含 $\sqrt{x}$ 与 $\sqrt{1-x}$，作三角代换 $\sqrt{x}=\sin t$ 可同时化简。

令 $\sqrt{x}=\sin t,t\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $x={\sin }^{2}t$，$dx=2\sin t\cos tdt$，且 $\sqrt{x(1-x)}=\sqrt{{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t}=\sin t\cos t$，$\arcsin \sqrt{x}=\arcsin (\sin t)=t$。

于是
$${\int }_0^1\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{t}{\sin t\cos t}\cdot 2\sin t\cos tdt={\int }_0^{\pi /2}2tdt=t^2{|}_0^{\pi /2}=\frac{{\pi }^2}{4}.$$

故选 A。