2020 年考研数学（二） 第 4 题

求「多项式 × 基本初等函数」的 $f^{(n)}(0)$，首选莱布尼茨公式：多项式 $x^2$ 只有二阶导非零，一下把求和塌缩成单项 $C_n^2{u}^{(n-2)}(0)\cdot 2$，剩下只需 $\ln (1-x)$ 的 $(n-2)$ 阶导数通项。若熟悉泰勒展开，还有更快的「系数法」：$f^{(n)}(0)/n!$ 恰是展开式中 $x^n$ 的系数，而 $x^2\ln (1-x)$ 的 $x^n$ 项来自 $\ln (1-x)$ 的 $x^{n-2}$ 项，系数 $-\frac{1}{n-2}$ 直接读出。两条路都通向 $-\frac{n!}{n-2}$。

本题考查高阶导数在一点的取值。 $f$ 是 $x^2$ 与 $\ln (1-x)$ 之积，用莱布尼茨公式最稳妥（纯数二方法）；也可借泰勒展开的系数快速得到。

（法一：莱布尼茨公式） 记 $u=\ln (1-x),v=x^2$，则 $f=uv$。因 $v^{\prime \prime }=2,v^{(k)}=0(k\ne 2)$，莱布尼茨公式 $f^{(n)}={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$ 只剩 $k=2$ 一项：
$$f^{(n)}(0)=C_n^2{u}^{(n-2)}(0)\cdot v^{\prime \prime }(0)=n(n-1)[\ln (1-x){]}^{(n-2)}{|}_{x=0}.$$

逐次求导可得 $[\ln (1-x){]}^{(m)}=-(m-1)!(1-x{)}^{-m}$（数学归纳法易证）。取 $m=n-2$、$x=0$ 得 $[\ln (1-x){]}^{(n-2)}{|}_0=-(n-3)!$。于是
$$f^{(n)}(0)=n(n-1)\cdot [-(n-3)!]=-\frac{n!}{n-2}.$$

（法二：泰勒系数法，仅作参考） 由 $\ln (1-x)$ 的麦克劳林展开知 $x^2\ln (1-x)$ 中 $x^n$ 项（来自 $\ln (1-x)$ 的 $x^{n-2}$ 项）的系数为 $-\frac{1}{n-2}$；又该系数等于 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$，故 $f^{(n)}(0)=-\frac{n!}{n-2}$，与法一一致。

故选 A。