2020 年考研数学（二） 第 5 题

分段函数在分界点讨论「偏导、二重极限、累次极限」，一律回到定义、沿指定方向逼近。四个结论里 ①③④ 都是老实计算就成立，唯独 ② 要多想一层：混合偏导 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ 要求先在一族点 $(0,y)$ 上求出 $\frac{\partial f}{\partial x}$、再对 $y$ 求导；而 $f(x,y)-f(0,y)=y(x-1)$ 除以 $x$ 后当 $x\to 0$ 发散，说明这个一阶偏导在 $y\ne 0$ 处就不存在，二阶自然无从谈起。凡分段点的高阶混合偏导，务必检查「作为中间量的一阶偏导是否在邻近点普遍存在」。

本题考查分段多元函数的偏导数、二重极限、累次极限的概念。 逐条按定义验证。

① 由偏导数定义，$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-0}{x}=1$（沿 $y=0$ 时 $f(x,0)=x$）。① 正确。

② 要算 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(0,0)}=\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\right]{|}_{(0,0)}$，需先求 $\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,y)}$。但当 $y\ne 0$ 时，在点 $(0,y)$ 处沿 $x$ 方向：$f(x,y)-f(0,y)=xy-y=y(x-1)$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{y(x-1)}{x}=\infty$ 不存在，即 $\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,y)}$（$y\ne 0$）不存在，于是混合偏导 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(0,0)}$ 不存在。② 不正确。

③ 当 $xy\ne 0$ 时 $0\le |f|=|xy|\le \frac{x^2+y^2}{2}$；在坐标轴上 $|f|=|x|$ 或 $|y|\le \sqrt{x^2+y^2}$。而 $\sqrt{x^2+y^2}\to 0$，由夹逼准则 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=0$。③ 正确。

④ 内层：对固定 $y\ne 0$，$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=\underset{x\to 0}{\lim }xy=0$（$x\to 0$ 时取 $xy\ne 0$ 分支）；再取外层 $\underset{y\to 0}{\lim }0=0$。④ 正确。

综上，正确的是 ①③④ 共 3 个，故选 B。