2020 年考研数学（二） 第 1 题

看到「比较几个变限积分无穷小的阶」，不要急着洛必达，先做等价无穷小的「降维」估计：积分的阶 = 上限的阶 ×（被积函数的阶 + 1）。本题两个陷阱都在上限和被积函数的复合幂次上——C 的上限 $\sin x\sim x$ 不改变阶，仍是 3 阶；而 D 的上限 $1-\cos x\sim x^2/2$ 把阶数「放大」了一倍，被积 $t^{3/2}$ 积分后成 $(x^2{)}^{5/2}=x^5$，一跃成为最高阶。

本题考查无穷小量阶的比较。 「最高阶」指趋于 $0$ 最快、即等价幂次的指数最大的那一个。四个选项都是变限积分，只需估计每个积分当 $x\to 0^{+}$ 时等价于 $x$ 的几次方。

选项 A：被积函数 $e^{t^2}-1\sim t^2$，故 ${\int }_0^x(e^{t^2}-1)dt\sim {\int }_0^x{t}^{2}dt=\frac{x^3}{3}$，是 $x$ 的 3 阶无穷小。

选项 B：被积函数 $\ln (1+\sqrt{t^3})\sim t^{3/2}$，故积分 $\sim {\int }_0^x{t}^{3/2}dt=\frac{2}{5}{x}^{5/2}$，是 $\frac{5}{2}$ 阶无穷小。

选项 C：上限 $\sin x\sim x$，被积函数 $\sin t^2\sim t^2$，故 ${\int }_0^{\sin x}\sin t^{2}dt\sim \frac{(\sin x{)}^3}{3}\sim \frac{x^3}{3}$，是 3 阶无穷小。

选项 D：上限 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，被积函数 $\sqrt{{\sin }^{3}t}\sim t^{3/2}$，故积分 $\sim \frac{2}{5}(1-\cos x{)}^{5/2}\sim \frac{2}{5}{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{5/2}$，是 $x$ 的 5 阶无穷小。

比较阶数：A、C 为 $3$ 阶，B 为 $\frac{5}{2}$ 阶，D 为 $5$ 阶。阶数最大的是 D，故选 D。