2019 年考研数学（二） 第 9 题

见到底数趋于 $1$、指数趋于 $\infty$ 的 $1^{\infty }$，标准动作是取对数化为 $e^{\lim (\text{指数}\times \ln \text{底数})}$，再用 $\ln (1+u)\sim u$ 把 $\ln (x+2^x)$ 近似成 $x+2^x-1$。本题的记忆点是 $\frac{2^x-1}{x}\to \ln 2$（一般 $\frac{a^x-1}{x}\to \ln a$），它让指数极限落到 $2(1+\ln 2)$；末尾 $e^{2\ln 2}=4$ 把答案凑成漂亮的 $4e^2$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型幂指函数极限。 当 $x\to 0$ 时，底数 $x+2^x\to 0+1=1$，指数 $\frac{2}{x}\to \infty$，属 $1^{\infty }$ 型，取对数（或凑第二重要极限）处理。

取对数化为指数极限：
$${\left(x+2^x\right)}^{\frac{2}{x}}=\exp \left[\frac{2}{x}\ln \left(x+2^x\right)\right],$$
利用 $x+2^x\to 1$ 时 $\ln (x+2^x)\sim (x+2^x-1)$，得指数部分
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{x}\ln (x+2^x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2(x+2^x-1)}{x}.$$

拆开求极限（其中 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x-1}{x}=\ln 2$）：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2(x+2^x-1)}{x}=2\underset{x\to 0}{\lim }\left(1+\frac{2^x-1}{x}\right)=2(1+\ln 2).$$

故原极限 $=e^{2(1+\ln 2)}=e^2\cdot e^{2\ln 2}=e^2\cdot 4=4e^2$。