2019 年考研数学（二） 第 10 题

参数曲线求切线，斜率用 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$，切点直接把 $t$ 代回 $x(t),y(t)$。这是摆线，容易出错的地方是 $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ 让横坐标多出 $+1$。「$y$ 轴上的截距」就是切线与 $x=0$ 的交点纵坐标，把 $x=0$ 代进点斜式即可，别与直线 $y=kx+b$ 里的 $b$ 记混。

本题考查参数方程确定的曲线的切线。 先求切点与斜率，写出切线方程，再令 $x=0$ 求 $y$ 轴截距。

切点：$t=\frac{3\pi }{2}$ 时，$x=\frac{3\pi }{2}-\sin \frac{3\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}-(-1)=\frac{3\pi }{2}+1$，$y=1-\cos \frac{3\pi }{2}=1-0=1$，即点 $\left(\frac{3\pi }{2}+1,1\right)$。

斜率：$\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$，在 $t=\frac{3\pi }{2}$ 处 $=\frac{-1}{1-0}=-1$。

切线方程 $y-1=-\left(x-\frac{3\pi }{2}-1\right)$。令 $x=0$ 得
$$y=1+\left(\frac{3\pi }{2}+1\right)=\frac{3\pi }{2}+2.$$
故切线在 $y$ 轴上的截距为 $\frac{3\pi }{2}+2$。