2019 年考研数学（二） 第 11 题

「验证某个偏导线性组合等于什么」的题，直接按链式法则把 $z_x,z_y$ 算出来代入即可，关键是设好中间变量 $u=\frac{y^2}{x}$、算准它的两个偏导。组合系数 $2x$ 与 $y$ 是精心搭配的：它让含 $f^{\prime }$ 的两项恰好抵消（$2x\cdot (-\frac{y^3}{x^2})+y\cdot \frac{2y^2}{x}=0$），只留 $yf$。「系数刚好消掉导数项」正是这类题的典型信号。

本题考查多元复合函数求偏导。 记中间变量 $u=\frac{y^2}{x}$，则 $z=yf(u)$。

对 $x$ 求偏导（$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y^2}{x^2}$）：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=y{f}^{\prime }(u)\cdot \left(-\frac{y^2}{x^2}\right)=-\frac{y^3}{x^2}{f}^{\prime }\left(\frac{y^2}{x}\right).$$

对 $y$ 求偏导（乘积法则，$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2y}{x}$）：
$$\frac{\partial z}{\partial y}=f(u)+y{f}^{\prime }(u)\cdot \frac{2y}{x}=f\left(\frac{y^2}{x}\right)+\frac{2y^2}{x}{f}^{\prime }\left(\frac{y^2}{x}\right).$$

代入所求组合：
$$2x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=2x\left(-\frac{y^3}{x^2}{f}^{\prime }\right)+y\left(f+\frac{2y^2}{x}{f}^{\prime }\right)=-\frac{2y^3}{x}{f}^{\prime }+yf+\frac{2y^3}{x}{f}^{\prime }=yf\left(\frac{y^2}{x}\right).$$
即结果为 $yf\left(\frac{y^2}{x}\right)$（恰好等于 $z$）。