2019 年考研数学（二） 第 12 题

弧长题就是套 $\int \sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$。本题的巧合在于 $y=\ln \cos x$ 的导数 $-\tan x$ 让根号下化为 $1+{\tan }^2={\sec }^2$，开根恰为 $\sec x$——一个「已知原函数」的标准积分 $\ln |\sec x+\tan x|$。凡被积根式能凑成 $\sec x$、$\csc x$ 这类，都是出题人埋下的可积信号。末尾 $\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ 化简别漏。

本题考查平面曲线的弧长公式 $s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$。

$y=\ln \cos x$，$y^{\prime }=-\tan x$，故 $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\sqrt{1+{\tan }^{2}x}=\sec x$（在 $\left[0,\frac{\pi }{6}\right]$ 上 $\cos x>0$，取正）。

于是
$$s={\int }_0^{\pi /6}\sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|{|}_0^{\pi /6}=\ln \left(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\ln 1=\ln \frac{3}{\sqrt{3}}=\ln \sqrt{3}=\frac{1}{2}\ln 3.$$